《經常趕時間的你，知道在扶梯上走沒效益嗎?》—2019數感盃／高中職組專題報導類銅獎

• 作者：陳俊宇／中崙高中

約翰是個上班族，他和女朋友約好在離大橋頭捷運站約 500 公尺的地方。早上醒來發現自己睡過頭，急忙趕往捷運站。下捷運之後，為了多節省一些時間，約翰決定不靠右側慢慢搭電扶梯，是從電扶梯左側的走道跑上去。由於大橋頭捷運站的電扶梯很長，約翰走出捷運站時就有點喘了，原本想要一路跑到目的地的他，因氣喘如牛，跑跑停停的結果，最終還是遲到了，女朋友也十分生氣。

約翰看似盡了全力，連在電扶梯上都用奔跑的方式想要節省時間，但結果卻仍是未能盡如人意，如此一來，「在電扶梯上跑或走」到底能否產生我們所預期的效益？還是其實在電扶梯上行走，根本是一件沒有效益的事情？是的，在電扶梯上行走，確實沒有效益。

何謂沒效益？

為什麼在電扶梯上行走沒有效益？
在回答這個問題之前，我們必須要先定義什麼是沒效益呢？
本文的沒效益，就是無法達到最省體力的方式。

舉個例子，約翰要在固定的時間內，走完相同距離的平地與電扶梯。改變他在平地與電扶梯的速度，比較體力的消耗量（耗能）。如果在電扶梯以較快的速度行走，消耗的體力較小，代表在電扶梯行走較有效益，反之則沒效益。

證明在電扶梯上行走是否有效益

為了證明「在手扶梯上行走沒效益」，我製作了上圖的模擬情境。接著，我要求出「人行走的耗能函數」（這邊的耗能為消耗體力的量）。計算在固定時間內，當耗能最小時，約翰在平地與電扶梯行走的速度值。比較約翰要在平地還是電扶梯上已較快的速度行走，才會有耗能最小。這樣就可以看出看電扶梯上行走是否有效益。

首先，我們的目標是求出人類走路的耗能函數。而耗能＝功率×時間：

這個公式怎麼用呢？以燈泡作為例子。一個功率100 W 的燈泡，使用 20 秒，他的耗能就是2000焦耳。

同樣的道理，只要知道人行走的功率函數 P（v），就能透過「耗能=功率×時間」算出耗能。而人在平地行走的功率函數大致呈指數函數（原因請看結尾），為了簡化推導的過程，這邊就用 P（v）＝2^v代替。

在知道了人在平地行走的功率函數後，讓我們開始推導模擬情境的耗能函數吧。不過推導過程有些複雜，讓我們先從約翰平地與電扶梯的耗能函數開始推導吧。

在平地行走的耗能函數

我們先來計算約翰在平地（ ground ）以速度 V_g 走 100 公尺的耗能函數。

約翰行走的耗能函數 E（V_g）為「耗能＝功率×時間」：

而約翰行走的耗能功率函數 P（V_g）為：

其中平地距離 Ｌ＝100 公尺，且「距離＝速度×時間」

經過推導後，可得耗能函數

這個公式要如何使用呢？這邊實際帶入數字看看。

如果以速度 Vg ＝1 前進，耗能為 Ｅ＝2¹×100／1=200。

如果以速度 Vg ＝4 前進，耗能為 Ｅ＝2⁴×100／4=400。

在電扶梯行走的耗能函數

接著，我們來計算約翰在電扶梯（ escalator ）以速度 Ve 走 100公尺的耗能函數。為了簡化計算，我將上下樓梯的電扶梯改成平地電扶梯，且電扶梯本身的速度 V_E＝１。

約翰走路的耗能函數 V_E 為「耗能＝功率ｘ時間」：

而約翰行走的耗能功率函數 P（V_e） 為：

其中電扶梯距離 Ｌ＝100 公尺，而約翰的總速度為「約翰在電扶梯行走速度＋電扶梯本身的速度」，且「距離=速度×時間」：

經過推導後，可得耗能函數：

模擬情境的耗能函數

接著就正式來了。

約翰以速度 V_g 走完100公尺的平地，再以速度 V_e 走完100公尺的電扶梯，電扶梯本身速度 V_E＝１。耗能函數為 ：

由於變數太多，首先我們先限定要在 30 秒（ t =  t_g ＋ t_e ＝30）內走完全程，並且將 V_g 替換成 V_e。替換公式為:

經推導後，可得耗能函數：

接著，利用繪圖軟體畫出函數圖形：

從函數圖形可知，在 D 點時有最小耗能，且此時約翰在電扶梯行走速度 V_e= 6.08，在平地行走速度 V_g = 6.3。也就是說，在限定時間 t = 30的情況下， V_g  >V_e 時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益。

改變總時間看變化

剛剛是用總時間 t =30 來做模擬，為了更廣義的證明，我們將總時間 t。值進行改變，結果如下圖。

發現在所有情況下，當約翰在平地行走速度大於電扶梯行走速度 (V_g  > V_e )時，有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益， 在電扶梯上行走沒有效益。 並且在總時間 t 越長時，這個現象更加明顯。

在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」

在賴以威老師執筆的「超展開數學約會」有對這個現象作出解釋。賴以威老師表示，會造成這樣的結果，是因為在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」。你每停留在電扶梯上一秒，電扶梯會推你往前 1 公尺。如果電扶梯上不動，電扶梯便會幫你走完電扶梯的全程。

所以下次在體力有限的情況下，最好在電扶梯上休息，等到了平地在進行衝刺，好好利用電扶梯給你的效益。當然,如果目的地離捷運站不遠，而你的體力又足夠，你便可以一路衝刺到底。

人行走的耗能功率函數推導

我使用『106年全國大專校院田徑公開賽──各項參賽名單暨參考成績』，裡面大專男子 200 m，400 m，800 m，1500 m，5000 m，10000 m 的成績。

我假設一般人行走的耗能功率函數的趨勢與運動員相似。當運動員跑完全程後，體力用盡，體力是1個單位。時間t用比賽第一名與最後一名的平均時間，且功率：

使用 Excel 將座標（速度，功率）=（ v ,  P(v)）點上。發現函數圖形接近指數函數：

本文的推導只要耗能功率函數的趨勢,於是使用指數函數 P（v）＝2^v 代替。