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2021/9/1

法院認證圓周率是3.2?


作者:

圓周率π≈3.14這應該是全台灣人都學過、被視為「常識」的數學知識。阿基米德早兩千兩百多年前就求出這個近似值了。
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但是呢,世界就是這麼的無奇不有,兩百多年前在美國差一點通過一條法案,裡面的圓周率不是3.14,而是3.2?!
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故事發生在1897年印第安那州,提案者古德溫(Goodwin)宣稱他發現了一個新的數學真理,並且願意很慷慨的不收取任何費用,免費提供給印第安那州使用,只要州議會願意正式通過這條法案。
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數學真理卻要靠著法律條文來證明?這個邏輯就讓人有些摸不著頭腦。如果仔細看法案,你會發現古德溫其實不是想講圓周率,而是想偷渡一個經典數學難題的解法,什麼難題呢 —— #化圓為方
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▍給定一個圓,利用尺規做圖,做出一個面積跟圓一樣大的正方形。
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這問題從古到今吸引了許多人前仆後繼,希臘人甚至發明了單字τετραγωνιζειν ,意思是「化圓為方者」,用來描述這些努力想破解這個問題的人們。
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化圓為方迷人之處在於,題目很容易理解,感覺好像也有機會做出來,可偏偏一直以來都沒人成功。如果被你破解了,那恭喜,這下你能在數學史上留名青史啦!所以歷史上不乏名人來挑戰化圓為方,包括英國哲學大師,《利維坦》作者霍布斯(註)。
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化圓為方有名到連但丁都把它作為經典名著《神曲》的結尾:
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❛ 幾何學家嘗試化圓為方,卻又徒勞無功時,便會懷疑它是否仍未掌握某些原理。我剛看到這幅景象時,也有類似的想法 ❜⠀⠀
—《神曲.天堂篇》第33首
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由於每隔一陣子,就會有人宣稱他們破解了化圓為方,因此在1775年,法國科學學會做出決議:
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不再審核任何化圓為方的研究。
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同時被列為拒絕往來戶的題目還有永動機。不過直到現在都有人在做永動機,就不難理解門檻更低的化圓為方會那麼受歡迎了。
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「都是數學問題啊,為什麼不能好好討論,要拒絕審核呢?」
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或許有人會這樣想。的確,好好討論都沒問題,可偏偏很多宣稱化圓為方的人都會犯一些一目了然的錯,比方說霍布斯在處理化圓為方時,就順便講了:
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「嗯,圓周率是3又1/8。」
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另一位化圓為方的狂熱份子約翰.戴維斯則認為圓周率是19/6,差不多是3.166。人們問他為什麼圓周率是這樣,他只回答:
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「大家都認為蘋果是酸的,所以蘋果就是酸的,這就是證明。」
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數學家迪摩根(註2)超級看不慣這些人,他在著作《矛盾集(Budget of Paradoxes)》裡大酸特酸:
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「化圓為方很容易,要說服數學家就難了。」
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「……就像達爾文描述的蜘蛛。他總是在繞圈圈;每當他編出來的理論被推翻了,他又會重頭再編一個。」
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他還曾經這麼戰過一個化圓為方者:
「他沒有瘋,瘋子只是根據錯誤的前提作正確的推理;但史密斯先生完全不懂推理,而且他根本沒有任何前提。」
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誰說數學家不擅言詞,迪摩根根本戰神!
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1882年,數學家林德曼證明了圓周率的某種特性,間接關門了化圓為方這個問題,證明它不可能被解出來。
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劇情回到一開始的圓周率法案。
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提案者古德溫其實就是想靠著法案通過,來宣稱自己破解了化圓為方的難題。它的法案一開始被送到金融委員會,後來被轉到運河委員會,然後又被扔到了教育委員會。
總算回到了專業手上,應該沒問題了吧。
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然後它就被通過了……
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被通過的一大關鍵,是古德溫宣稱它的解法被刊登在《美國數學月刊》。這的確也是事實,只是很妙的,在他的文章最末有免責聲明,表示不對古德溫的解法背書。但恐怕教育委員諸公們沒看這麼細,只覺得《美國數學月刊》好像很威,就讓法案通過了。
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還好,數學之神真的存在。
法案通過當天,普渡大學的數學教授沃爾多剛好為了補助,前來拜訪委員會。當時有議員拉著他介紹這條法案,還想介紹兩位數學天才彼此認識一番。
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「我看過的瘋子已經夠多了。」
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沃爾多同樣是戰神!
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後來,沃爾多努力幫委員們惡補數學,作數學科普。媒體也開始注意這件事,嘲諷這條法案有多不合理。終於,法案遭到否決,被無限期擱置。化圓為方陣營想靠法律認證的策略以失敗告終。

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早就被證明不可能的問題,卻一直有人認為可以。乍看之下非常荒謬,可換個角度想,生活中有很多事情不也是這樣嗎?
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真相可能是A,卻有一堆人認為是B或C。
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差別只在於化圓為方可以經過數學證明不可能。生活中很多事情更加複雜,是無法被嚴格證明。這也再次驗證了數學家馮.諾伊曼的經典名言:
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「人們以為數學很困難,那是因為他們不知道生活有多複雜。」
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最後,本週日是3月14日,剛好就是圓周率日,還好古德溫的法案沒通過,不然至少在美國印第安那州的圓周率日就是3月2日了。週日數感實驗室與中華民國數學會、臺灣數學史教育學會將在科教館有相關的圓周率日慶祝活動,歡迎大家一起來參加!
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註1:霍布斯的另一個數學「傑作」是關於無限小概念的爭論,有興趣的朋友可以參考《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》這本書。
註2:對,就是迪摩根定律的那位迪摩根。
📖 主要參考資料:《 神奇的π 》

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