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2020/5/5

【肺炎專題】數學家算給你看,為什麼要認真防疫


作者:

疫情持續了百餘日,人們被要求減少外出、保持社交距離、確實洗手、戴口罩搭乘大眾交通運輸工具。種種措施讓我們的生活有些不便,偶爾你(我)會想稍微貪圖便宜:手隨便洗,跟朋友聚餐放鬆一下應該沒關係,口罩沒有好好收隨便扔在桌上……大數學家帕斯卡告訴你不該這麼做。

對,就是帕斯卡三角形的那位帕斯卡。

帕斯卡具有數學家與神學家的雙重身分,他一度很苦惱該不該定期參加禮拜,該不該有信仰。最終他宣稱用數學解決了這個煩惱。帕斯卡的推理如下:

1️⃣ 我去禮拜且有神明。死後會上天堂,獲得正無限大的回報。

2️⃣ 我去禮拜且沒神明。就是浪費了一點時間,有限的損失(-s)。

3️⃣ 我不去禮拜且有神明。死後無法上天堂,什麼都沒獲得(註)。

4️⃣ 我不去禮拜且沒神明,一樣什麼都沒有。

假設有神明的機率是q,沒神明的機率是(1-q),則參考前兩點可以求出:

• 去禮拜的期望值是q×∞+(1-q)×(-s)=∞
• 不去禮拜的期望值是q×0+(1-q)×0=0

去禮拜的期望值 > 不去禮拜的期望值

於是帕斯卡乖乖的去禮拜,後人將這個經典的分析稱為「帕斯卡的賭注」。


????回到疫情
根據認真不認真防疫,且周遭有沒有新冠病毒,可以分成4種狀況:

1️⃣ 認真防疫且周遭有新冠病毒,能避免被感染,付出一點成本(註2)。

2️⃣ 認真防疫且周遭沒新冠病毒,不會被感染,付出一點成本。

3️⃣ 不認真防疫且周遭有新冠病毒,會被傳染,且有可能會傳染給重要的親友,萬一嚴重,將遭受無限大的損失。

4️⃣ 不認真防疫且周遭沒新冠病毒,不會被傳染,沒獲得也沒失去。

綜合前兩點,假設周遭有新冠病毒的機率是p,防疫的成本是-s,我們可以得到:

• 認真防疫的期望值是 p×(-s)+ (1-p) ×(-s)=-s
• 不認真防疫的期望值是 p×(-∞)+(1-p)×0=-∞

可以看到,不管是認真或不認真防疫,基本上受到疫情的影響,生活品質都會受損。但如果不認真防疫受損的期望值將遠大於認真防疫。畢竟,不要說走到重症或失去生命這步,光是自己或傳染給親友確診,那樣的不安或愧疚,就是任何人都不願意承受的了(註3)。

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▎註:帕斯卡的原文此處是下地獄,負無限大的損失,不過為了與接下來的新冠病毒分析一致,我們修改成0,不影響推理結果。

▎註2:事實上有可能認真防疫依然被傳染,有興趣的讀者可以算一下此時的期望值。

▎註3:退一步講,如果你認為生病的損失不是負無限大而是有限值t。那可以根據自己設定的防疫成本s、估算的機率p,還是可以用同樣的方法評估該不該防疫。

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