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2021/1/30

冰塊多久會融化


作者:

最近天氣很熱,倘若無法開冷氣,或是硬派不願意開冷氣,古早的降溫做法就是「放冰塊」。有趣的問題來了,冰塊多久會融化,該多久準備一份新的冰塊呢?

首先,冰塊融化的速率會跟冰塊與空氣接觸的表面積有關。挫冰店老闆從冰庫拿出來的一個冰磚,跟挫好後的碎冰,後者很快就變成一攤水,正是因為碎冰的總表面積比冰磚大上許多。

「融化速率(R)與表面積(S)成正比」用數學來描述就是R = kS

K是常數。而融化的速率,就是體積(V)隨著時間(t)的變化,換句話說,就是「體積對時間的微分(dV/dt)」。因此我們可以將上式整理成dV/dt=kS到這邊大家都可以嗎(數學老師推眼鏡)?

這裡的變數有點多,讓我們稍微簡化一下,假設搬到立法院的冰磚是正立方體,假設邊長是x,則體積是V=x三次方,表面積是S=6x平方=6(V的2/3次方),經過一串化簡整理,可以得到dV/dt= 6k (V的2/3次方)再運用微分方程的技巧,可以解出V(t)=(2kt+(初始體積的1/3次方) )3

其中,我們需要做實驗來求出常數k。比方說,如果今天有個1立方公分的正方體冰塊,40秒會融化。則可以得到0=2k×40+1,可以求出k=-1/80不同場合的k會有所不同,比方說如果在冷氣房裡,k的絕對值就會更小,表示冰塊融化得比較慢,可如果在沒有冷氣的空間,冰塊融化得很快,k的絕對值就會很大。

有了k、初始冰塊體積、與這道式子,你就可以知道任意時間的冰塊體V(t)。附圖即是1立方公尺的立方體冰塊,在不同時間的體積變化,大約再17分鐘後會只剩下4成大,全部融化約是在1小時又6分鐘後。竟然能算出冰塊不同時間的體積變化,微積分真是太好用了!

如果,只是如果,你現在在某處枯坐,面前有一個冰塊,你心裡納悶著「這是哪裡我為什麼在這裡」時,不妨複習一下數學,預測一下這個冰塊多久後會融化吧!

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